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In mwcageometria, il mwcqcircumraggio è il mwcgraggio del mwcwcircumcerchio di un mwdatriangolo, pari alla distanza che separa il mwdqmwdgcircocentro da uno qualsiasi dei suoi vertici.

Più in generale tale nome può designare anche il raggio della mweacirconferenza circoscritta a un mweqpoligono ciclico qualsiasi, o della sfera circoscritta ad alcuni mwewpoliedri.

• Nel triangolo

• Dimostrazione

• Esempi

• Relazioni con l'inraggio

• Nei poligoni in generale

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

La lunghezza del circumraggio è data dalla seguente relazione:

mwgq R = a b c 4 Δ Δ , {\displaystyle R={\frac {abc}{4\Delta }},}

dove mwgw a , b , c {\displaystyle a,b,c} sono i lati del triangolo e mwha Δ Δ {\displaystyle \Delta } è la sua area, che può essere calcolata con la mwhqformula di Erone.

Sia mwia C H {\displaystyle CH} l'altezza relativa ad mwiq A B {\displaystyle AB} e

mwja h := C H ¯ ¯ . {\displaystyle h:={\overline {CH}}.}

Si ricordi inoltre che

mwka a := B C ¯ ¯ ; {\displaystyle a:={\overline {BC}};}

mwkg b := A C ¯ ¯ ; {\displaystyle b:={\overline {AC}};}

mwla c := A B ¯ ¯ . {\displaystyle c:={\overline {AB}}.}

Sia mwlg A D {\displaystyle AD} il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo mwlw A B C {\displaystyle ABC} passante per mwma A {\displaystyle A} . I triangoli mwmq C B H {\displaystyle CBH} e mwmg A C D {\displaystyle ACD} sono simili quindi vale la relazione

mwnq h : b = a : 2 R , {\displaystyle h:b=a:2R,}

ossia

mwoq 2 R = a b h = a b c 2 c h 2 = a b c 2 Δ Δ {\displaystyle 2R={\frac {ab}{h}}={\frac {abc}{2{\frac {ch}{2}}}}={\frac {abc}{2\Delta }}}

e dividendo per 2 ambo i membri segue la tesi.

Nel mwpqtriangolo rettangolo, essendo il circocentro il mwpgpunto medio dell'mwpwipotenusa mwqa i {\displaystyle i} , il circumraggio è uguale alla metà di questa

mwqw R = i 2 = 1 2 a 2 + b 2 . {\displaystyle R={\frac {i}{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}

Nel mwrqtriangolo equilatero si ha mwrg R = l 3 . {\displaystyle R={\frac {l}{\sqrt {3}}}.}

Il circumraggio è in stretta relazione con l'mwsqinraggio mwsg r {\displaystyle r} , il raggio della circonferenza inscritta, e con mwsw s , {\displaystyle s,} il semiperimetro:

mwtg R = a b c 4 r s = a b c 4 Δ Δ = r cos ⁡ ⁡ α α + cos ⁡ ⁡ β β + cos ⁡ ⁡ γ γ , {\displaystyle R={\frac {abc}{4rs}}={\frac {abc}{4\Delta }}={\frac {r}{\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma }},}

Inoltre utilizzando il mwuateorema dei seni si ha:

mwuw R = a 2 sin ⁡ ⁡ α α = b 2 sin ⁡ ⁡ β β = c 2 sin ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}.}

Nei mwvgquadrilateri ciclici in generale la formula è

mwwq R = 1 4 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( s − − a ) ( s − − b ) ( s − − c ) ( s − − d ) , {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}},}

invece per un mwwwpoligono regolare di mwxa n {\displaystyle n} lati di lunghezza mwxq l {\displaystyle l} è

mwya R = 1 2 l csc ⁡ ⁡ ( π π n ) ; {\displaystyle R={\frac {1}{2}}l\csc {\left({\frac {\pi }{n}}\right)};}

qui mwyg csc {\displaystyle \csc } denota la funzione mwywcosecante.

• mwzwCircumcerchio

• mwaqCircocentro

• mwawCirconferenza circoscritta

• mwbqInraggio

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Circumradius, su MathWorld, Wolfram Research.